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O Problema
Gustavo, um jovem engenheiro, está projetando o espaço de um depósito que irá construir. Seu cliente quer que este depósito tenha no mínimo 80m² e seja retangular, como demonstra a imagem abaixo.
Para que as necessidades do cliente sejam atendidas, qual deve ser o intervalo de valores de “x”? *
Alternativas:
- 5,5
- [5,5; +∞)
- 12,5
- [-12,5; 5]
- Nenhuma das outras alternativas
Resolução Passo a Passo 🧠
1. Entender o Problema
O objetivo é encontrar o intervalo de valores para "x" de modo que um depósito retangular tenha uma área de, no mínimo, 80m².
Formato: Retangular
Dimensões: Um lado mede (x + 5) metros e o outro mede (x + 2) metros.
Condição da Área: A área deve ser maior ou igual a 80 m².
2. Montar a Inequação
A fórmula da área de um retângulo é Área = comprimento × largura. Então:
Área = (x+5) ⋅ (x+2)
A condição é que a área seja de no mínimo 80m², logo:
(x+5) ⋅ (x+2) ≥ 80
3. Resolver a Inequação Quadrática
Expandindo o produto:
x² + 7x + 10 ≥ 80
Agora, subtraímos 80 de ambos os lados:
x² + 7x − 70 ≥ 0
Resolvendo a equação utilizando a fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √Δ) / 2a
Com Δ = 329 (aproximadamente 18), encontramos as raízes:
x₁ = -12,5 e x₂ = 5,5
4. Considerar as Restrições Físicas
As dimensões do depósito não podem ser negativas:
x + 5 > 0 ⟹ x > −5
x + 2 > 0 ⟹ x > −2
A restrição mais restritiva é: x > −2.
5. Encontrar a Solução Final
Combinando a solução matemática (x ≤ −12,5 ou x ≥ 5,5) com a restrição física (x > −2), a única solução válida é:
x ≥ 5,5
Resposta final: [5,5; +∞)
Alternativa correta: [5,5; +∞)
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