⚖️ Regras de Inferência (Continuação)

Adição [AD]

P ⇒ P ∨ Q

De uma proposição, podemos deduzir sua disjunção com qualquer outra.

Simplificação [SIMP]

P ∧ Q ⇒ P ou P ∧ Q ⇒ Q

De uma conjunção, podemos deduzir qualquer um de seus termos.

Conjunção [CONJ]

P e Q ⇒ P ∧ Q

A partir de duas proposições, podemos deduzir sua conjunção.

Absorção [ABS]

P → Q ⇒ P → (P ∧ Q)

De uma condicional, podemos obter outra com antecedente igual e consequente sendo a conjunção do antecedente com o consequente original.

Modus Ponens [MP]

(P → Q) e P ⇒ Q

Se temos uma condicional e seu antecedente é verdadeiro, então o consequente também é.

Modus Tollens [MT]: (P → Q) e ~Q ⇒ ~P

P → Q

~Q

~P

Esta regra permite, a partir das proposições P → Q (condicional) e ~Q (negação do consequente), deduzir a negação do antecedente ~P.

Exemplo: "Se ganhar na Loteria, fico rico; não fiquei rico; logo não ganhei na Loteria"

P Q ~P ~Q P → Q (P → Q) ∧ ~Q [(P → Q) ∧ ~Q] → ~P
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V

Exercício: Utilize a regra Modus Tollens para obter a negação do consequente:

a) (1) p ∧ q → ~r P
(2) r P

b) (1) ~p → q P
(2) ~q P

Regra de Inferência
Fundamental

Silogismo Disjuntivo [SD]: (P ∨ Q) e ~P ⇒ Q ou (P ∨ Q) e ~Q ⇒ P

(i) P ∨ Q
    ~P
    Q

(ii) P ∨ Q
    ~Q
    P

Esta regra permite deduzir da disjunção (P ∨ Q) de duas proposições e da negação de uma delas (~P ou ~Q) a outra proposição (Q ou P).

Exemplo: "Trabalho ou estudo; não trabalho; logo, estudo."

Exercício: Utilize a regra do Silogismo Disjuntivo para deduzir a conclusão:

a) (1) (p ∧ q) ∨ r P
(2) ~(p ∧ q) P

b) (1) x∈A ∨ x∈B P
(2) x∉A P

Regra de Inferência

Silogismo Hipotético [SH]: (P → Q) e (Q → R) ⇒ P → R

Esta regra permite deduzir uma condicional transitiva a partir de duas condicionais relacionadas.

P Q R P → Q Q → R P → R (P → Q) ∧ (Q → R) [(P → Q) ∧ (Q → R)] → (P → R)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V V F V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F V F V
F F V V V V V V
F F F V V V V V

Exercício: Utilize a regra do Silogismo Hipotético para obter uma condicional:

a) (1) (p ∧ r) → s P
(2) s → t P

b) (1) ~p → p ∨ r P
(2) p ∨ r → q P

Regra de Inferência
Transitividade

Dilema Construtivo [DC]: (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R) ⇒ Q ∨ S

Se temos duas condicionais e pelo menos um dos antecedentes é verdadeiro, então pelo menos um dos consequentes também é verdadeiro.

Exercício: Utilize a regra do Dilema Construtivo para obter uma disjunção:

a) (1) ~p → q ∨ r H
(2) ~q → s ∧ t H
(3) ~p ∨ ~q H

Regra de Inferência
Dilema

Dilema Destrutivo [DD]: (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (~Q ∨ ~S) ⇒ ~P ∨ ~R

Se temos duas condicionais e pelo menos um dos consequentes é falso, então pelo menos um dos antecedentes também é falso.

Exercício: Utilize a regra do Dilema Destrutivo para determinar uma conclusão:

a) (1) ~p → (q ∨ r) P
(2) (q ∨ t) → s P
(3) ~s ∨ ~(q ∨ r) P

Regra de Inferência
Dilema

🔍 Exercícios: Identificação de Regras

Identifique qual a regra de inferência utilizada

a) p → (q ∧ r)
    p
    ____________
    q ∧ r

Resposta: Modus Ponens (MP)

b) ~p → (s ∧ q)
    ~(s ∧ q)
    ____________
    p

Resposta: Modus Tollens (MT)

c) y = 2 → z < y
    y = 4 → x > y
    y ≠ 2 ∨ y ≠ 4
    _________________________
    x ≤ y ∨ z ≥ y

Resposta: Dilema Construtivo (DC)

d) "Se o show estiver lotado, então é porque fez sol. Mas, sabe-se que não fez sol. Portanto o show não estava lotado."

Resposta: Modus Tollens (MT)

Exercício Prático
Identificação

🏛️ Teoria dos Argumentos

Definição de Argumento

Denomina-se argumento a relação que associa a sequência de proposições P₁, P₂, ... Pₙ, chamadas premissas, a uma proposição final Q que é a conclusão.

{P₁, P₂, ..., Pₙ} ⊢ C

Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como premissas e a terceira como conclusão, é denominado silogismo.

A conclusão de um argumento pode ser identificada por indicadores de inferência:

portanto
logo
assim
então
conclui-se que
implica que
Definição
Fundamental

Formas de Representar Argumentos

Forma Padrão:

Se José pegou as joias ou a Sra. Mello mentiu, então ocorreu um crime.

Se ocorreu um crime então o Sr. Vargas estava na cidade.

Ora o Sr. Vargas não estava na cidade.

José não pegou as joias.

Forma Simbólica:

Simbolizando: p: José pegou as joias, q: Sra. Mello mentiu, r: ocorreu um crime, s: Sr. Vargas estava na cidade

p ∨ q → r, r → s, ~s ⊢ ~p

Representação

Validade de Argumentos

Dizemos que um argumento é válido (legítimo ou bem construído) quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Significa dizer que a veracidade da conclusão está incluída na veracidade das premissas; isto é, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão também o será.

Num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras.

Quando a conclusão não decorre das premissas, dizemos que o argumento é inválido (ilegítimo, mal construído ou falacioso).

Critério Formal: Um argumento P₁, P₂, ..., Pₙ ⊢ Q é válido se e somente se a condicional (P₁ ∧ P₂ ∧ ... ∧ Pₙ) → Q é uma tautologia.

Conceito Central
Validade

Importante!

É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tan somente da validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmente verdadeiras ou não.

Ao se discutir a validade de um argumento é irrelevante saber se as premissas são realmente verdadeiras ou não. Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras e verificar se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira.

Exemplo de argumento inválido: "Tiradentes foi o líder da Inconfidência Mineira. Santos Dumont projetou, construiu e voou os primeiros balões dirigíveis com motor a gasolina. Portanto, todo dia tem 24 horas."

Embora todas as proposições sejam verdadeiras, a conclusão não segue das premissas, portanto o argumento é inválido.

Atenção!
Exemplo Ilustrativo