Terra-23

🔢 Exercício Resolvido: Permutação Familiar

📷 Enunciado do Problema (UF-PN)

"Um casal e seus quatro filhos, ao posar para uma fotografia, ficam em pé, um ao lado do outro. O número de modos que eles poderão se dispor, se os pais devem ficar sempre juntos, é:"

📝 Alternativas:

1. 60
2. 36
3. 240
4. 720
5. 120

🧠 Resolução Passo a Passo

1. Entendendo o Problema

Temos 6 pessoas para organizar em fila (2 pais + 4 filhos), com a restrição de que os pais devem ficar sempre juntos.

2. Conceito Matemático Envolvido

Este é um problema de permutação com restrição, onde alguns elementos devem permanecer juntos.

ℹ️ Quando elementos devem ficar juntos em uma permutação, podemos tratá-los como um único "bloco".

3. Resolução

Passo 1: Considerar os pais como um único elemento (bloco "Pais")

[Pais] + Filho1 + Filho2 + Filho3 + Filho4 → Total: 5 elementos

Passo 2: Calcular as permutações dos 5 elementos:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Passo 3: Considerar que os pais podem trocar de posição dentro do bloco:

2! = 2 × 1 = 2 (Pai-Mãe ou Mãe-Pai)

Passo 4: Multiplicar os resultados:

Total = 5! × 2! = 120 × 2 = 240

✅ Resposta Correta

c) 240

Esta é a alternativa correta, conforme demonstrado nos cálculos.

O número total de disposições possíveis, considerando que os pais devem ficar sempre juntos (mas podem trocar de posição entre si), é de 240 maneiras diferentes.

Análise das Alternativas Incorretas:

a) 60

Incorreto: Seria o resultado de considerar apenas as permutações dos blocos (5!) sem multiplicar pela permutação dos pais (2!).

b) 36

Incorreto: Não corresponde a nenhum cálculo relevante para este problema.

d) 720

Incorreto: Este seria o resultado se não houvesse restrições (6! = 720), mas o problema exige que os pais fiquem juntos.

e) 120

Incorreto: Corresponde apenas ao 5! (permutações dos blocos), esquecendo de multiplicar pela permutação dos pais dentro do bloco.

💡 Dica para Problemas Similares

Sempre que elementos precisarem ficar juntos em problemas de permutação:

1. Trate os elementos que devem ficar juntos como um único "bloco"
2. Calcule as permutações considerando esse bloco como um elemento
3. Multiplique pelo número de permutações possíveis dentro do bloco
4. Some (se for o caso de "ou") ou multiplique (se for o caso de "e") os resultados

⚠️ Conteúdo original preservado integralmente | Exercício resolvido de análise combinatória