Multiplicação, Adição e Comparação de Frações - Matemática
Operações Fundamentais com Frações
Esta página aborda as operações básicas com frações: multiplicação, adição, subtração e comparação, incluindo números mistos e redução ao mesmo denominador.
Nível: Básico/Intermediário
✖️ Multiplicação de Frações
📚 Regra da Multiplicação:Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
\[
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}
\]
🔍 Observação importante:Vamos entender por que \(2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Pela regra da adição: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Pela definição de multiplicação: \(2 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Lembrando que: \(2 = \frac{2}{1}\)
\[
2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{3} = \frac{2 \times 1}{1 \times 3} = \frac{2}{3}
\]
Isto significa que:
\[
2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
📝 Exemplos de Multiplicação:Exemplo 1: \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}\)
\[
\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]
Simplificando a fração \(\frac{2}{12}\) dividindo por 2
Exemplo 2: \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}\)
\[
\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}
\]
Exemplo 3: \(\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}\)
\[
\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{4 \times 3}{9 \times 8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}
\]
Simplificando a fração \(\frac{12}{72}\) dividindo por 12
➕➖ Adição e Subtração de Frações
1️⃣ 1º Caso: Frações com o mesmo denominadorAdicionamos ou subtraímos os numeradores, conservando o denominador comum.
\[
\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}
\]
📝 Exemplos - Mesmo Denominador:Exemplo 1: \(\frac{3}{10} + \frac{4}{10}\)
\[
\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3 + 4}{10} = \frac{7}{10}
\]
Exemplo 2: \(\frac{7}{12} - \frac{5}{12}\)
\[
\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
\]
Simplificando a fração \(\frac{2}{12}\) dividindo por 2
Exemplo 3: \(\frac{5}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}\)
\[
\frac{5}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5 + 3 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1
\]
2️⃣ 2º Caso: Frações com denominadores diferentesDevemos reduzir as frações ao menor denominador comum (MMC) e depois proceder como no caso anterior.
📝 Exemplos - Denominadores Diferentes:Exemplo 1: \(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\)
MMC(3, 4) = 12
\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}
\]
\[
\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}
\]
\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12}
\]
Exemplo 2: \(\frac{3}{4} - \frac{5}{6}\)
MMC(4, 6) = 12
\[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}
\]
\[
\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}
\]
\[
\frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = \frac{9 - 10}{12} = -\frac{1}{12}
\]
Exemplo 3: \(\frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\)
MMC(5, 3, 2) = 30
\[
\frac{2}{5} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30}
\]
\[
\frac{1}{3} = \frac{1 \times 10}{3 \times 10} = \frac{10}{30}
\]
\[
\frac{1}{2} = \frac{1 \times 15}{2 \times 15} = \frac{15}{30}
\]
\[
\frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{12}{30} + \frac{10}{30} + \frac{15}{30} = \frac{12 + 10 + 15}{30} = \frac{37}{30}
\]
🔢 Números MistosUm número misto é um número inteiro mais uma fração. Para operar com números mistos, transformamos em frações impróprias.
\[
a\frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c}
\]
Exemplo: \(2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2}\)
\[
2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}
\]
\[
1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}
\]
\[
2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2} = \frac{7}{3} + \frac{3}{2}
\]
MMC(3, 2) = 6
\[
\frac{7}{3} = \frac{7 \times 2}{3 \times 2} = \frac{14}{6}
\]
\[
\frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6}
\]
\[
\frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14 + 9}{6} = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}
\]
📊 Comparação de Frações
1️⃣ 1º Caso: Frações com o mesmo denominadorDe duas frações que têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem maior numerador.
\[
\text{Se } a > b \text{, então } \frac{a}{c} > \frac{b}{c}
\]
📝 Exemplos - Mesmo Denominador:Exemplo 1: Comparar \(\frac{5}{7}\) e \(\frac{3}{7}\)
Como 5 > 3, então \(\frac{5}{7} > \frac{3}{7}\)
Exemplo 2: Comparar \(\frac{2}{9}\) e \(\frac{7}{9}\)
Como 2 < 7, então \(\frac{2}{9} < \frac{7}{9}\)
2️⃣ 2º Caso: Frações com denominadores diferentesReduzimos as frações ao menor denominador comum e depois comparamos.
📝 Exemplos - Denominadores Diferentes:Exemplo 1: Comparar \(\frac{2}{3}\) e \(\frac{3}{4}\)
MMC(3, 4) = 12
\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}
\]
\[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}
\]
Como \(\frac{8}{12} < \frac{9}{12}\) , então \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\)
Exemplo 2: Comparar \(\frac{1}{2}\) e \(\frac{2}{5}\)
MMC(2, 5) = 10
\[
\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}
\]
\[
\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}
\]
Como \(\frac{5}{10} > \frac{4}{10}\) , então \(\frac{1}{2} > \frac{2}{5}\)
📋 Exercícios para Verificar sua Aprendizagem✖️ Exercícios sobre Multiplicação de Frações:Calcule os seguintes produtos e simplifique quando possível:
1 a) \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}\)
\[
\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \ ?
\]
2 b) \(\frac{5}{6} \times \frac{3}{10}\)
\[
\frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \ ?
\]
3 c) \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\)
\[
\frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \ ?
\]
4 d) \(4 \times \frac{3}{7}\)
\[
4 \times \frac{3}{7} = \ ?
\]
➕ Exercícios sobre Adição e Subtração:Calcule as seguintes somas ou diferenças:
5 a) \(\frac{2}{9} + \frac{5}{9}\)
\[
\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \ ?
\]
6 b) \(\frac{7}{12} - \frac{5}{12}\)
\[
\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \ ?
\]
7 c) \(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}\)
\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \ ?
\]
8 d) \(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\)
\[
\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \ ?
\]
📊 Exercícios sobre Comparação de Frações:Utilizando os símbolos > ou <, compare os pares de frações:
9 a) \(\frac{3}{5} \quad \text{?} \quad \frac{2}{5}\)
\[
\frac{3}{5} \ ? \ \frac{2}{5}
\]
10 b) \(\frac{7}{10} \quad \text{?} \quad \frac{3}{10}\)
\[
\frac{7}{10} \ ? \ \frac{3}{10}
\]
11 c) \(\frac{2}{3} \quad \text{?} \quad \frac{3}{4}\)
\[
\frac{2}{3} \ ? \ \frac{3}{4}
\]
12 d) \(\frac{1}{2} \quad \text{?} \quad \frac{3}{5}\)
\[
\frac{1}{2} \ ? \ \frac{3}{5}
\]
🔢 Exercícios sobre Redução ao Mesmo Denominador:Reduza as frações ao menor denominador comum:
13 a) \(\frac{1}{2} \text{ e } \frac{2}{3}\)
\[
\frac{1}{2} = \frac{?}{?} \quad \frac{2}{3} = \frac{?}{?}
\]
14 b) \(\frac{3}{4} \text{ e } \frac{5}{6}\)
\[
\frac{3}{4} = \frac{?}{?} \quad \frac{5}{6} = \frac{?}{?}
\]
15 c) \(\frac{2}{5} \text{ e } \frac{3}{10}\)
\[
\frac{2}{5} = \frac{?}{?} \quad \frac{3}{10} = \frac{?}{?}
\]
16 d) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{4} \text{ e } \frac{1}{6}\)
\[
\frac{1}{3} = \frac{?}{?} \quad \frac{1}{4} = \frac{?}{?} \quad \frac{1}{6} = \frac{?}{?}
\]
💡 Dicas para Resolução:
Multiplicação: Multiplique numeradores e denominadores separadamente, depois simplifique.Adição/Subtração com mesmo denominador: Some/subtraia apenas os numeradores.Adição/Subtração com denominadores diferentes: Calcule o MMC, reduza as frações e então some/subtraia.Comparação com mesmo denominador: Compare apenas os numeradores.Comparação com denominadores diferentes: Reduza ao mesmo denominador primeiro.Números mistos: Converta para frações impróprias antes de operar.
🎓 Multiplicação, Adição e Comparação de Frações
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