Divisão de Frações e Números Inversos - Matemática
Conceito Fundamental: Números Inversos
Dois números são inversos quando o produto entre eles é igual a 1. Para frações, o inverso é obtido trocando numerador e denominador.
Nível: Básico/Intermediário
🔄 Números Inversos (Números Recíprocos)
📚 Definição:
Dois números fracionários são inversos quando o numerador de um é o denominador do outro, e vice-versa.
\[
\text{Se } \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \text{, então } \frac{a}{b} \text{ e } \frac{b}{a} \text{ são inversos.}
\]
Propriedade importante: O produto de dois números inversos é sempre igual a 1.
\[
\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{a \times b}{b \times a} = \frac{ab}{ab} = 1
\]
📝 Exemplos de Números Inversos:
Exemplo 1:
\[
\frac{2}{3} \text{ e } \frac{3}{2}
\]
São inversos porque:
\[
\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{2 \times 3}{3 \times 2} = \frac{6}{6} = 1
\]
Exemplo 2:
\[
\frac{5}{7} \text{ e } \frac{7}{5}
\]
São inversos porque:
\[
\frac{5}{7} \times \frac{7}{5} = \frac{5 \times 7}{7 \times 5} = \frac{35}{35} = 1
\]
Exemplo 3:
\[
5 \text{ e } \frac{1}{5}
\]
São inversos porque:
\[
5 \times \frac{1}{5} = \frac{5}{1} \times \frac{1}{5} = \frac{5 \times 1}{1 \times 5} = \frac{5}{5} = 1
\]
Exemplo 4:
\[
\frac{1}{4} \text{ e } 4
\]
São inversos porque:
\[
\frac{1}{4} \times 4 = \frac{1}{4} \times \frac{4}{1} = \frac{1 \times 4}{4 \times 1} = \frac{4}{4} = 1
\]
✖️ Multiplicação de Frações
📚 Regra da Multiplicação:
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.
\[
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}
\]
🧮 Exemplos de Multiplicação:
Exemplo 1: \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}\)
\[
\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}
\]
Exemplo 2: \(4 \times \frac{1}{6}\)
\[
4 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{6} = \frac{4 \times 1}{1 \times 6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]
Simplificamos \(\frac{4}{6}\) dividindo numerador e denominador por 2
Exemplo 3: \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}\)
\[
\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{2 \times 3 \times 1}{3 \times 4 \times 2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}
\]
Simplificamos \(\frac{6}{24}\) dividindo numerador e denominador por 6
Representação visual: Multiplicar frações significa encontrar uma fração de outra fração
Se temos \(\frac{1}{3}\) de \(\frac{2}{5}\):
\[
\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{1 \times 2}{3 \times 5} = \frac{2}{15}
\]
➗ Divisão de Frações
⭐ REGRA DE OURO DA DIVISÃO DE FRAÇÕES ⭐
\[
\text{Dividir por uma fração} = \text{Multiplicar pelo seu inverso}
\]
\[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\]
🧠 Por que essa regra funciona?
Vamos entender com um exemplo concreto:
Queremos calcular \(\frac{2}{3} \div \frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3} \div \frac{1}{2}\) significa: "Quantas vezes \(\frac{1}{2}\) cabe em \(\frac{2}{3}\)?"
Sabemos que dividir por \(\frac{1}{2}\) é o mesmo que multiplicar por 2 (o inverso de \(\frac{1}{2}\))
\[
\frac{2}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times 2 = \frac{2 \times 2}{3} = \frac{4}{3}
\]
Verificando:
\(\frac{4}{3}\) é aproximadamente 1,33
\(\frac{1}{2}\) cabe aproximadamente 1,33 vezes em \(\frac{2}{3}\)
Visualizando:
\(\frac{2}{3}\) de um círculo:
\(\frac{1}{2}\) de um círculo:
📝 Exemplos de Divisão de Frações:
Exemplo 1: \(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}\)
\[
\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}
\]
Exemplo 2: \(\frac{5}{6} \div 3\)
\[
\frac{5}{6} \div 3 = \frac{5}{6} \div \frac{3}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5 \times 1}{6 \times 3} = \frac{5}{18}
\]
Exemplo 3: \(7 \div \frac{2}{3}\)
\[
7 \div \frac{2}{3} = \frac{7}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{7 \times 3}{1 \times 2} = \frac{21}{2}
\]
📋 Exercícios para Verificar sua Aprendizagem
➕ Exercícios sobre Soma e Subtração:
Calcule as seguintes somas ou diferenças:
1 a) \(\frac{3}{5} + \frac{1}{5}\)
\[
\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \ ?
\]
2 b) \(\frac{7}{10} - \frac{3}{10}\)
\[
\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \ ?
\]
3 c) \(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\)
\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \ ?
\]
4 d) \(\frac{5}{8} - \frac{1}{4}\)
\[
\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \ ?
\]
✖️ Exercícios sobre Multiplicação de Frações:
Calcule os seguintes produtos e simplifique o resultado quando possível:
5 a) \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}\)
\[
\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \ ?
\]
6 b) \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}\)
\[
\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \ ?
\]
7 c) \(\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}\)
\[
\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \ ?
\]
8 d) \(5 \times \frac{2}{3}\)
\[
5 \times \frac{2}{3} = \ ?
\]
➗ Exercícios sobre Divisão de Frações:
Calcule os seguintes quocientes e simplifique os resultados quando possível:
9 a) \(\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}\)
\[
\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \ ?
\]
10 b) \(\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}\)
\[
\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \ ?
\]
11 c) \(\frac{7}{8} \div 2\)
\[
\frac{7}{8} \div 2 = \ ?
\]
12 d) \(4 \div \frac{1}{3}\)
\[
4 \div \frac{1}{3} = \ ?
\]
💡 Resumo das Regras:
➕ Soma/Subtração
\[
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}
\]
Mesmo denominador
✖️ Multiplicação
\[
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}
\]
Multiplicar numeradores e denominadores
➗ Divisão
\[
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\]
Multiplicar pelo inverso
🔄 Inverso
\[
\text{Inverso de } \frac{a}{b} = \frac{b}{a}
\]
Trocar numerador e denominador
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