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📐 Entendendo o Vértice da Parábola na Função Quadrática

Neste artigo, vamos explorar um conceito fundamental da função do segundo grau: o vértice da parábola. Você aprenderá como identificá-lo e calculá-lo através de fórmulas específicas.

🔍 O que é o Vértice da Parábola?

O vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo da função do segundo grau. Sua posição depende da concavidade da parábola:

• Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, o vértice representa o ponto de mínimo da função.
• Quando a parábola tem concavidade voltada para baixo, o vértice representa o ponto de máximo da função.

📝 Lembre-se: A concavidade da parábola é determinada pelo coeficiente a da função quadrática:

• Se a > 0, a concavidade é para cima
• Se a < 0, a concavidade é para baixo

🧮 Como Determinar o Vértice

O vértice é um ponto no plano cartesiano, representado por um par ordenado (xᵥ, yᵥ). Para calculá-lo, utilizamos duas fórmulas importantes:

Fórmula do x do vértice:
xᵥ = -b / 2a

Fórmula do y do vértice:
yᵥ = -Δ / 4a
(onde Δ = b² - 4ac)

📝 Exemplo Prático

Vamos aplicar essas fórmulas para encontrar o vértice da função:

f(x) = x² - 4x + 3

Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 1 (coeficiente de x²)
b = -4 (coeficiente de x)
c = 3 (termo independente)

Passo 2: Calcular x do vértice (xᵥ)
xᵥ = -b / 2a = -(-4) / (2×1) = 4 / 2 = 2

Passo 3: Calcular o discriminante (Δ)
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4

Passo 4: Calcular y do vértice (yᵥ)
yᵥ = -Δ / 4a = -4 / (4×1) = -1

Resultado Final:
O vértice da parábola é o ponto (2, -1).

🔎 Interpretando o Resultado

Analisando nossa função exemplo:

• Como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
• Portanto, o vértice (2, -1) é o ponto de mínimo da função.
• Isso significa que o menor valor que f(x) pode assumir é -1, e isso ocorre quando x = 2.

📊 Representação Gráfica

Se plotarmos o gráfico da função f(x) = x² - 4x + 3, veremos:

• Uma parábola com abertura para cima
• Cortando o eixo y no ponto (0,3)
• Com raízes em x=1 e x=3 (onde f(x)=0)
• E com seu ponto mais baixo (vértice) em (2,-1)

🧠 Aplicações do Vértice

O conceito de vértice é essencial em diversas situações:

• Problemas de otimização: Encontrar valores máximos ou mínimos em situações reais
• Física: Determinar altura máxima de projéteis
• Economia: Calcular lucro máximo ou custo mínimo
• Engenharia: Projetar estruturas com propriedades específicas

🔢 Outro Exemplo para Fixação

Vamos praticar com mais uma função:

f(x) = -2x² + 8x - 5

Passo 1: Identificar os coeficientes
a = -2, b = 8, c = -5

Passo 2: Calcular x do vértice
xᵥ = -b / 2a = -8 / (2×-2) = -8 / -4 = 2

Passo 3: Calcular Δ
Δ = b² - 4ac = 64 - 4×-2×-5 = 64 - 40 = 24

Passo 4: Calcular y do vértice
yᵥ = -Δ / 4a = -24 / (4×-2) = -24 / -8 = 3

Resultado: Vértice em (2, 3)

Análise: Como a = -2 < 0, a concavidade é para baixo e o vértice (2,3) é o ponto de máximo da função.

🤔 Dúvidas Frequentes

P: Posso encontrar o vértice sem usar as fórmulas?
R: Sim, usando o ponto médio das raízes para xᵥ e calculando f(xᵥ) para yᵥ, mas as fórmulas são mais diretas.

P: E se a função não tiver raízes reais?
R: As fórmulas do vértice continuam válidas, pois não dependem da existência de raízes reais.

P: O vértice sempre está no meio das raízes?
R: Sim, o x do vértice é sempre o ponto médio entre as raízes (quando existem).

📚 Conclusão

O vértice da parábola é um conceito fundamental no estudo das funções quadráticas, fornecendo informações valiosas sobre o comportamento da função. Para dominar completamente:

1. Memorize as fórmulas do vértice
2. Pratique com diversos exemplos
3. Entenda a relação entre o coeficiente a e a concavidade
4. Interprete os resultados no contexto do problema

Com este conhecimento, você estará preparado para resolver problemas mais complexos envolvendo funções do segundo grau!