Terra-23

🔢 Exercício Resolvido: Combinação de Comissão

🏫 Enunciado do Problema

"Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas. De quantas maneiras poderá ser escolhida uma comissão de três meninos e quatro meninas, incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a melhor aluna?"

ℹ️ Dados importantes:

• Total de meninos: 10 (incluindo o "melhor aluno")
• Total de meninas: 12 (incluindo a "melhor aluna")
• Tamanho da comissão: 3 meninos e 4 meninas
• Restrição: Melhor aluno e melhor aluna devem estar na comissão

🧮 Resolução Passo a Passo

1. Entendendo as Restrições

A comissão deve conter obrigatoriamente:

• O melhor aluno (1 menino específico)
• A melhor aluna (1 menina específica)

Portanto, essas duas posições já estão preenchidas.

2. Escolha dos Meninos

Precisamos escolher 3 meninos no total, mas 1 já está definido (o melhor aluno).

Meninos a escolher = 3 (total) - 1 (melhor aluno) = 2

Meninos disponíveis para essas 2 vagas: 10 (total) - 1 (melhor aluno) = 9

Combinações possíveis:

C(9,2) = 9! / (2! × (9-2)!) = (9 × 8) / (2 × 1) = 36

3. Escolha das Meninas

Precisamos escolher 4 meninas no total, mas 1 já está definida (a melhor aluna).

Meninas a escolher = 4 (total) - 1 (melhor aluna) = 3

Meninas disponíveis para essas 3 vagas: 12 (total) - 1 (melhor aluna) = 11

Combinações possíveis:

C(11,3) = 11! / (3! × (11-3)!) = (11 × 10 × 9) / (3 × 2 × 1) = 165

4. Cálculo Final

Como as escolhas dos meninos e meninas são independentes, multiplicamos os resultados:

Total = C(9,2) × C(11,3) = 36 × 165 = 5.940

✅ Resposta Final

A comissão pode ser formada de 5.940 maneiras diferentes, atendendo a todas as condições do problema.

Explicação Detalhada:

O problema envolve combinações porque a ordem dos selecionados na comissão não importa. Devemos:

1. Fixar o melhor aluno e a melhor aluna (já incluídos obrigatoriamente)
2. Completar a comissão escolhendo os membros restantes entre os demais alunos
3. Multiplicar as combinações possíveis para meninos e meninas

💡 Dica para Problemas Similares

Quando resolver problemas de combinação com membros obrigatórios:

1. Reserve primeiro os membros obrigatórios
2. Calcule quantas vagas restam para completar o grupo
3. Determine quantos candidatos estão disponíveis para essas vagas
4. Use a fórmula de combinação C(n,p) para cada grupo (masculino/feminino)
5. Multiplique os resultados dos diferentes grupos

Fórmula de combinação: C(n,p) = n! / (p! × (n-p)!)

⚠️ Conteúdo original preservado integralmente | Exercício resolvido de análise combinatória